Черновики к кинематике

Интуитивно понятно, что характеристики движения (скорость, траектория и т.д.) зависят от того, откуда мы на него смотрим. Поэтому для описания движения вводится понятие системы отсчета. Система отсчета (СО) – совокупность тела отсчета (оно считается абсолютно твердым), привязанной к нему системой координат, линейки (прибора, измеряющего расстояния), часов и синхронизатора времени.


 

 

Перемещаясь с течением времени из одной точки в другую, тело (материальная точка) описывает в данной СО некоторую линию, которую называют траекторией движения тела.

Перемещением тела называют направленный отрезок прямой, соединяющий начальное положение тела с его конечным положением. Перемещение есть векторная величина. Перемещение может в процессе движения увеличиваться, уменьшаться и становиться равным нулю.

Пройденный путь равен длине траектории, пройденной телом за некоторое время. Путь – скалярная величина. Путь не может уменьшаться. Путь только возрастает либо остается постоянным (если тело не движется). При движении тела по криволинейной траектории модуль (длина) вектора перемещения всегда меньше пройденного пути.

При равномерном (с постоянной скоростью) движении путь L может быть найден по формуле:

Формула Путь при равномерном движении

где: v – скорость тела, t – время в течении которого оно двигалось. При решении задач по кинематике перемещение обычно находится из геометрических соображений. Часто геометрические соображения для нахождения перемещения требуют знания теоремы Пифагора.

 

Средняя скорость

К оглавлению…

Скорость – векторная величина, характеризующая быстроту перемещения тела в пространстве. Скорость бывает средней и мгновенной. Мгновенная скорость описывает движение в данный конкретный момент времени в данной конкретной точке пространства, а средняя скорость характеризует все движение в целом, в общем, не описывая подробности движения на каждом конкретном участке.

Средняя скорость пути – это отношение всего пути ко всему времени движения.

 

 

https://educon.by/index.php/materials/phys/kinematika

 

 

1. Равномерное прямолинейное движение — движение, при котором тело за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения. Слова «любые равные» означают, что за каждый час, за каждую минуту, за каждые 30 минут, за каждую секунду, за каждую долю секунды тело совершает одинаковые перемещения.

Равномерное движение — идеализация, поскольку практически невозможно создать такие условия, чтобы движение тела было равномерным в течение достаточно большого промежутка времени. Реальное движение может лишь приближаться к равномерному движению с той или иной степенью точности.

2. Изменение положения тела в пространстве при равномерном движении может происходить с разной быстротой. Это свойство движения — его «быстрота» характеризуется физической величиной, называемой скоростью.

Скоростью равномерного прямолинейного движения называют векторную физическую величину, равную отношению перемещения ко времени, за которое это перемещение произошло.

Если за время ​t​ тело совершило перемещение ​s⃗ ​, то скорость его движения ​v⃗ ​ равна ​v⃗ =s⃗ /t​.

Единица скорости: [v]=[s]/[t][v]=1м/1с=1м/сЗа единицу скорости принимается 1 м/с — скорость такого равномерного движения, при котором тело за 1 с совершает перемещение 1 м.

Зная скорость равномерного движения, можно найти перемещение за любой промежуток времени: s⃗ =v⃗ t. Вектор скорости и вектор перемещения направлены в одну сторону — в сторону движения тела.

3. Поскольку основной задачей механики является определение в любой момент времени положения тела, т.е. его координаты, необходимо записать уравнение зависимости координаты тела от времени при равномерном движении.

Пусть s⃗  — перемещение тела (рис. 11). Направим координатную ось ОХ по направлению перемещения. Найдем проекцию перемещения на координатную ось ОХ. На рисунке ​x0​ — координата начальной точки перемещения, ​x​ — координата конечной точки перемещения. Проекция перемещения равна разности координат конечной и начальной точек: ​s⃗ x=xx0​. С другой стороны, проекция перемещения равна проекции скорости, умноженной на время, т.е. s⃗ x=v⃗ xt. Откуда ​xx0=v⃗ xt​ или x=x0+v⃗ xt. Если начальная координата ​x0​ = 0, то ​x=v⃗ xt​.

Полученная формула позволяет определить координату тела при равномерном движении в любой момент времени, если известны начальная координата и проекция скорости движения.

Проекция скорости может быть как положительной, так и отрицательной. Проекция скорости положительна, если направление движения совпадает с положительным направлением оси ОХ (рис. 12). В этом случае ​x>x0​. Проекция скорости отрицательна, если тело движется против положительного направления оси ОХ (рис. 12). В этом случае x<x0.

4. Зависимость координаты от времени можно представить графически.

Предположим, что тело движется из начала координат вдоль положительного направления оси ОХ с постоянной скоростью. Проекция скорости на ось ОХ равна 4 м/с. Уравнение движения в этом случае имеет вид: ​x​ = 4 м/с · ​t​. Зависимость координаты от времени — линейная. Графиком такой зависимости является прямая линия, проходящая через начало координат (рис. 13).

Для того чтобы её построить, необходимо иметь две точки: одна из них ​t​ = 0 и ​x​ = 0, а другая ​t​ = 1 с, ​x​ = 4 м. На рисунке приведён график зависимости координаты от времени, соответствующий данному уравнению движения.

Если в начальный момент времени координата тела ​x0​ = 2 м, а проекция его скорости ​vx​ = 4 м/с, то уравнение движения имеет вид: ​x​ = 2 м + 4 м/с · ​t​. Это тоже линейная зависимость координаты от скорости, и её графиком является прямая линия, проходящая через точку, для которой ​t​ = 0, ​x​ = 2 м (рис. 14).

В том случае, если проекция скорости отрицательна, уравнение движения имеет вид: x​ = 2 м – 4 м/с · ​t​. График зависимости координаты такого движения от времени представлен на рисунке 15.

Таким образом, движение тела может быть описано аналитически, т.е. с помощью уравнения движения (уравнения зависимости координаты тела от времени), и графически, т.е. с помощью графика зависимости координаты тела от времени.

График зависимости проекции скорости равномерного прямолинейного движения от времени представлен на рисунке 16.

5. Ниже приведён пример решения основной задачи кинематики — определения положения тела в некоторый момент времени.

Задача. Два автомобиля движутся навстречу друг другу равномерно и прямолинейно: один со скоростью 15 м/с, другой — со скоростью 12 м/с. Определите время и место встречи автомобилей, если в начальный момент времени расстояние между ними равно 270 м.

При решении задачи целесообразно придерживаться следующей последовательности действий:

  1. Кратко записать условие задачи.
  2. Проанализировать ситуацию, описанную в условии задачи:
    — выяснить, можно ли принять движущиеся тела за материальные точки;
    — сделать рисунок, изобразив на нём векторы скорости;
    — выбрать систему отсчёта — тело отсчёта, направления координатных осей, начало отсчёта координат, начало отсчёта времени; записать начальные условия (значения координат в начальный момент времени) для каждого тела.
  3. Записать в общем виде уравнение движения в векторной форме и для проекций на координатные оси.
  4. Записать уравнение движения для каждого тела с учётом начальных условий и знаков проекций скорости.
  5. Решить задачу в общем виде.
  6. Подставить в формулу значения величин и выполнить вычисления.
  7. Проанализировать ответ.

Применим эту последовательность действий к приведённой выше задаче.

Дано: ​v1​ = 15 м/с  ​v2 ​= 12 м/с  ​l ​= 270 м. Найти: ​t​ – ?   x​ – ?

Автомобили можно считать материальными точками, поскольку расстояние между ними много больше их размеров и размерами автомобилей можно пренебречь

Система отсчёта связана с Землёй, ось ​Ox​ направлена в сторону движения первого тела, начало отсчёта координаты — т. ​O​ — положение первого тела в начальный момент времени.

Начальные условия: ​t​ = 0; ​x01​ = 0; x02 = 270.

Уравнение в общем виде: ​s⃗ =v⃗ t​; ​x=x0+vxt.

Уравнения для каждого тела с учётом начальных условий: ​x1=v1t​; ​x2=lv2t​. В месте встречи тел ​x1=x2; следовательно: ​v1t=lv2t​. Откуда ​t=lv1+v2t​. Подставив значение времени в уравнение для координаты первого автомобиля, получим значение координаты места встречи автомобилей: ​x​ = 150 м.

===============================================================

 Простейшим видом механического движения является движение тела вдоль прямой линиис постоянной по модулю и направлению скоростью. Такое движение нназывается равномерным. При равномерном движении тело за любые равные промежутки времени проходит равные пути. Для кинематического описания рравномерного прямолинейного движения координатную ось OX удобно ррасположить по линии движения. Положение тела при равномерном движении оопределяется заданием одной координаты x. Вектор перемещения и вектор сскорости всегда направлены параллельно координатной оси OX. Поэтому пперемещение и скорость при прямолинейном движении можно спроектировать на оось OX и рассматривать их проекции как алгебраические величины.

Еесли в некоторый момент времени t1 тело находилось в точке с координатой x1, а в более поздний момент t2 – в точке с координатой x2, то проекция перемещения Δs на ось OX за время Δt = t2 – t1 равна Δs = x2 – x1.

Эта величина может быть и положительной и отрицательной в зависимости от направления, в котором двигалось тело. При равномерном движении вдоль прямой модуль перемещения совпадает с пройденным путем. Скоростью равномерного прямолинейного движения называют выражение  υ=ΔsΔt=x2-x(t2-t1)=const.

Если υ > 0, то тело движется в сторону положительного направления оси OX; при υ < 0 тело движется в противоположном направлении.

Зависимость координаты x от времени t (закон движения) выражается при равномерном прямолинейном движении линейным математическим уравнением: x (t) = x0 + υt.

В этом уравнении υ = const – скорость движения тела, x0 – координата точки, в которой тело находилось в момент времени t = 0. График закона движения x(t) представляет собой прямую линию. Примеры таких графиков показаны на рис. 1.3.1.

Графики равномерного прямолинейного движения

Для закона движения, изображенного на графике I (рис. 1.3.1), при t = 0 тело находилось в точке с координатой x0 = –3. Между моментами времени t1 = 4 с и t2 = 6 с тело переместилось от точки x1 = 3 м до точки x2 = 6 м. Таким образом, за Δt = t2 – t1 = 2 с тело переместилось на Δs = x2 – x1 = 3 м. Следовательно, скорость тела составляет υ=Δs/Δt=1,5 м/с.

Величина скорости оказалась положительной. Это означает, что тело двигалось в положительном направлении оси OX. Обратим внимание, что на графике движения скорость тела может быть геометрически определена как отношение сторон BC и AC треугольника ABC (см. рис. 1.3.1) υυ=x2-x1t2-t1=|BC||AC|.

Чем больше угол α, который образует прямая с осью времени, т. е. чем больше наклон графика (крутизна), тем больше скорость тела. Иногда говорят, что скорость тела равна тангенсу угла α наклона прямой x (t). С точки зрения математики это утверждение не вполне корректно, так как стороны BC и AC треугольника ABC имеют разные размерности: сторона BC измеряется в метрах, а сторона AC – в секундах.

Аналогичным образом для движения, изображенного на рис. 1.3.1 прямой II, найдем x0 = 4 м, υ = –1 м/с.

На рис. 1.3.2 закон движения x (t) тела изображен с помощью отрезков прямых линий. В математике такие графики называются кусочно-линейными. Такое движение тела вдоль прямой не является равномерным. На разных участках этого графика тело движется с различными скоростями, которые также можно определить по наклону соответствующего отрезка к оси времени. В точках излома графика тело мгновенно изменяет свою скорость. На графике (рис. 1.3.2) это происходит в моменты времени t1 = –3 с, t2 = 4 с, t3 = 7 с и t4 = 9 с. По графику движения нетрудно найти, что на интервале (t2; t1) тело двигалось со скоростью υ12 = 1 м/с, на интервале (t3; t2) – со скоростью υ23 = –4/3 м/с и на интервале (t4; t3) – со скоростью υ34 = 4 м/с.

Следует отметить, что при кусочно-линейном законе прямолинейного движения тела пройденный путь l не совпадает с перемещением s. Например, для закона движения, изображенного на рис. 1.3.2, перемещение тела на интервале времени от 0 с до 7 с равно нулю (s = 0). За это время тело прошло путь l = 8 м.

 

 

 

Вокруг нас множество движущихся тел. Их движение можно описать по-разному. Рассмотрим, например, словесное описание движения поезда. Выехав из пункта А, поезд 2 часа ехал со скоростью 100 км/ч, затем 1 час стоял, и в пункт Б прибыл через 3 часа после возобновления движения, всё это время поддерживая скорость 50 км/ч.

Движение этого же поезда можно описать при помощи таблицы:

Время t, ч 0 1 2 3 4 5 6
Путь l, км 0 100 200 200 250 300 350

По данным таблицы построим график, и мы получим описание движения при помощи графика. На нём три этапа: от 0 до 2 часов (движение со скоростью 100 км/ч), от 2 до 3 часов (стоянка) и от 3 до 6 часов (движение со скоростью 50 км/ч).

_?_

Каждый этап движения поезда на графике отражён прямой линией, которой в алгебре соответствует линейная функция y = kx + b, где k и b – числа. Применительно к нашей задаче про поезд, вместо y будем писать l, а вместо x будем писать t. Тогда мы получим описание движения формулами:

Этап движения
на графике
Интервал времени Формула линии графика
I. (красный) если  0 < t < 2 , то l  =  100 · t + 0
II. (чёрный) если  2 < t < 3 , то l  =  0 · t + 200
III. (синий) если  3 < t < 6 , то l  =  50 · t + 50

Как получаются эти формулы, мы изучим при решении задач, а пока убедимся, что они верные, например последняя. Значение t должно лежать в интервале от 3 до 6 часов. Возьмём значение 4 и подставим в формулу: l = 50 · 4 + 50. Вычисляем: 250 километров. В верхней таблице мы тоже видим, что за 4 часа поезд проехал 250 км. Взгляните и на график: для момента времени t = 4 ч получается путь l = 250 км.

  1. При описании движения поезда первую строку таблицы мы назовём …
  2. Сколько километров поезд проехал к моменту остановки?
  3. В интервале времени от 2х до 3х часов у поезда была …
  4. На графике любой этап движения поезда является …
  5. Из алгебры вы знаете, что прямолинейный график имеет …
  6. Каждому интервалу времени движения поезда соответствует своя …
  7. Равенством «путь = 200 км» описывается интервал времени …
  8. Значение 250 км получается, если мы …
  9. Мы уверены в правильности вычисленного значения, так как …
  10. График тоже подтверждает, что …
  11. Какие способы описания движения являются равноправными?
Обобщим сказанное: рассмотренные способы описания движения – словесный, табличный, графический и формулами – равноправны. В зависимости от ситуации мы будем выбирать более удобный способ.

Кинематика (от греч. «кинематос» – движение) – раздел физики, изучающий способы математического описания движения тел без выяснения причин, вызвавших движение. Кинематика не интересуется тем, почему тело движется так, а не иначе. Она лишь отвечает на вопросы: как движение описать математически и что нового из такого описания можно почерпнуть?

Тело, собственными размерами которого в данных условиях можно пренебречь, называют материальной точкой. Например, если самолёт совершает перелёт по маршруту Москва–Сочи, диспетчер вполне может считать самолёт точкой (именно так он и отображается на экране радара). Однако тот же самолёт, выруливающий на взлётную полосу, точкой считать нельзя – надо учитывать, например, размах крыльев, чтобы не повредить другие самолёты или мачты освещения на месте стоянки.

      _?_

В физике линию, которую «описывает» материальная точка при движении в пространстве, называют траекторией. Траектория может быть видимой или невидимой. Например, линия движения самолёта в небе часто видна (см. рисунок), а линия движения автомобиля по шоссе не видна. Заметим, что с точки зрения геометрии линия не имеет ширины. Поэтому, говоря о траектории движения любого тела, мы всегда считаем его материальной точкой.

По виду траекторий все движения тел делят на прямолинейные и криволинейные. Например, траектория падения мяча, выпущенного из рук, – отрезок прямой, полёта пушечного снаряда – часть параболы, а кончика маятника настенных часов – дуга, то есть часть окружности.

  1. Для описания движения у нас есть право …
  2. Основная задача кинематики – предоставить нам результат …
  3. Наряду с описанием движения, кинематика отвечает на вопрос …
  4. Материальная точка в физике – это …
  5. Наблюдатель на земле может считать самолёт материальной точкой, …
  6. Наблюдатель на земле не может считать материальной точкой …
  7. Траектория – это видимая или невидимая линия, …
  8. Если мы рассматриваем траекторию какого-либо тела, …
  9. В кинематике все движения делятся на прямолинейные и криволинейные …

 

Обновлено: 30.06.2019 — 17:37

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *